$\frac{x-1}{x+5}+\frac{x+5}{x-1}=\frac{10}{3}$
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{x-1}{x+5}+\frac{x+5}{x-1}-\frac{10}{3}=0$ | * 3(x + 5)(x − 1)
$3(x-1{)}^2+3(x+5{)}^2-10(x+5)(x-1)=0$
$3(x^2-2x+1)+3(x^2+10x+25)-10(x^2+5x-x-5)=0$
$3x^2-6x+3+3x^2+30x+75-10x^2-50x+10x+50=0$
$-4x^2-16x+128=0$ | : (−4)
$x^2+4x-32=0$
$D=b^2-4ac=4^2-4\ast 1\ast (-32)=16+128=144>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+\sqrt{144}}{2\ast 1}=\frac{-4+12}{2}=\frac{8}{2}=4$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-\sqrt{144}}{2\ast 1}=\frac{-4-12}{2}=\frac{-16}{2}=-8$
Ответ: −8 и 4

$\frac{x^2-3x+6}{x}+\frac{2x}{x^2-3x+6}=3$
x ≠ 0
и
$x^2-3x+6\ne 0$
$D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4\ast 1\ast 6=9-24=-15<0$ − нет корней.
$y=\frac{x^2-3x+6}{x}\ne 0$
$y+\frac{2}{y}=3$ | * y
$y^2+2=3y$
$y^2-3y+2=0$
$D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4\ast 1\ast 2=9-8=1>0$
$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$
$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$
$\frac{x^2-3x+6}{x}=1$
или
$\frac{x^2-3x+6}{x}=2$
а)
$\frac{x^2-3x+6}{x}=1$ | * x
$x^2-3x+6=x$
$x^2-3x+6-x=0$
$x^2-4x+6=0$
$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\ast 1\ast 6=16-24=-8<0$ − нет корней
б)
$\frac{x^2-3x+6}{x}=2$ | * x
$x^2-3x+6=2x$
$x^2-3x+6-2x=0$
$x^2-5x+6=0$
$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\ast 1\ast 6=25-24=1>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$
Ответ: 2 и 3

$\frac{x^2}{(3x-1{)}^2}-\frac{4x}{3x-1}-5=0$
3x − 1 ≠ 0
3x ≠ 1
$x\ne \frac{1}{3}$
$y=\frac{x}{3x-1}$
$y^2-4y-5=0$
$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\ast 1\ast (-5)=16+20=36>0$
$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{36}}{2\ast 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$
$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{36}}{2\ast 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
$\frac{x}{3x-1}=5$
или
$\frac{x}{3x-1}=-1$
а)
$\frac{x}{3x-1}=5$
x = 5(3x − 1)
x = 15x − 5
x − 15x = −5
−14x = −5
$x=\frac{5}{14}$
б)
$\frac{x}{3x-1}=-1$
x = −(3x − 1)
x = −3x + 1
x + 3x = 1
4x = 1
$x=\frac{1}{4}$
Ответ: $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{5}{14}$

$\frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2$
$x^2+2x-8\ne 0$
$D=b^2-4ac=2^2-4\ast 1\ast 8=4+32=36>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\ast 1}=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}\ne 2$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\ast 1}=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}\ne -4$
и
$x^2+2x-3\ne 0$
$D=b^2-4ac=2^2-4\ast 1\ast (-3)=4+12=16>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\ast 1}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}\ne 1$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\ast 1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}\ne -3$
$y=x^2+2x$
$\frac{24}{y-8}-\frac{15}{y-3}=2$ | * (y − 8)(y − 3)
24(y − 3) − 15(y − 8) = 2(y − 8)(y − 3)
$24y-72-15y+120=2(y^2-8y-3y+24)$
$9y+48=2y^2-16y-6y+48$
$9y+48=2y^2-22y+48$
$-2y^2+9y+22y+48-48=0$
$-2y^2+31y=0$
−y(2y − 31) = 0
−y = 0
y = 0
или
2y − 31 = 0
2y = 31
y = 15,5
$x^2+2x=0$
или
$x^2+2x=15,5$
а)
$x^2+2x=0$
x(x + 2) = 0
x = 0
или
x + 2 = 0
x = −2
б)
$x^2+2x=15,5$
$x^2+2x-15,5=0$ | * 2
$2x^2+4x-31=0$
$D=b^2-4ac=4^2-4\ast 2\ast (-31)=16+248=264>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+\sqrt{264}}{2\ast 2}=\frac{-4+\sqrt{4\ast 66}}{4}=\frac{-4+2\sqrt{66}}{4}=\frac{2(-2+\sqrt{66})}{4}=\frac{-2+\sqrt{66}}{2}=-1+\frac{\sqrt{66}}{2}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-\sqrt{264}}{2\ast 2}=\frac{-4-\sqrt{4\ast 66}}{4}=\frac{-4-2\sqrt{66}}{4}=\frac{2(-2-\sqrt{66})}{4}=\frac{-2-\sqrt{66}}{2}=-1-\frac{\sqrt{66}}{2}$
Ответ: $-2;0;-1-\frac{\sqrt{66}}{2};-1+\frac{\sqrt{66}}{2}$.